MM545: Ordinære differentialligninger og geometri (10 ECTS)

STADS: 13012801

Niveau
Bachelorkursus

Undervisningsperiode
Kurset er placeret i efterårssemesteret.

Ansvarlige undervisere
Email: dellamor@cp3.dias.sdu.dk

Skemaoplysninger
Vis hele skemaet
Vis personligt skema for dette kursus.

Kommentar:
Ubegrænset deltagerantal. Undervises fælles med MM507 Differentialligninger og MM512 Kurver og flader

Indgangskrav:
Ingen

Faglige forudsætninger:
Stoffet fra ”Lineær algebra” (MM505) (eller ”Algebra og lineær algebra” (MM538)) og ”Matematisk og numerisk analyse” (MM533) forudsættes kendt.

Kursusintroduktion
At introducere modelleringsproblemer fra natur- og ingeniørvidenskab ved ordinære differentialligninger, samt at analysere og løse disse ligninger. Det er kursets formål at indføre teknikker til analytisk behandling af parametriserede kurver og flader i det 3-dimensionale rum og at give de studerende en visuel indsigt i de opnåede resultaters geometriske fortolkning.

Kompetencer
Kurset skal udvikle de studerendes problem- og modelleringskompetencer, så de opnår færdigheder i

• at analysere og strukturere et felt eller en situation med henblik på en matematisk modellering
• at genkende problemer, som kan modelleres som differentialligninger
• at "læse", hvilke kvalitative egenskaber en model beskriver
• at formulere en matematisk model for et konkret problem
• at bestemme løsninger for ordinære differentialligninger, analytisk og/eller numerisk, ved brug af passende værktøj
• at relatere løsninger til det oprindelige problem

Efter at have bestået kurset forventes de studerende at kunne behandle følgende begreber analytisk, at forstå begrebernes geometriske indhold og deres indbyrdes sammenhæng.

• buelængde, krumning og torsion af kurver i planen og rummet
• regularitet af en parametrisering
• hoved-, Gauß- og middelkrumning for en flade i rummet
• geodætiske kurver på parametriserede flader i rummet

Forventet læringsudbytte
Ved kursets afslutning forventes den studerende at kunne:

1. formulere en differentialligning som model for et simpelt problem.
2. løse differentialligninger ved teknikker undervist i kurset.
3. finde stationære løsninger og analysere asymptotisk opførsel af simple systemer af differentialligninger.
4. gengive definitioner og resultater, med deres beviser, fra geometrien af kurver i planen og i rummet og af flader i rummet inden for kursets pensum.
5. anvende disse resultater på eksempler.
6. formulere  og præsentere definitioner, beviser og udregninger på en matematisk stringent måde.

Emneoversigt
1.1 Første ordens differentialligninger og matematiske modeller.
1.2 Retningsfelter og begyndelsesværdi problemer.
1.3 Eulers metode.
1.4 Eksistens og entydighed, Picard-Lindelöf sætning (som anvendelse affikspunktsætningen).
1.5 Gronwalls Lemma og konvergens af Eulers metode.´
1.6 Analytiske redskaber: integrations faktorer, separation af variabler, og eksakte ligninger.
2.1 Systemer af første ordens differentialligninger, og højere ordens lineære ligninger: fundamentale løsninger, løsnings rum.
2.2 Wronski determinanten, Abels sætning.´
2.3 Analytiske redskaber: ubestemte koefficienter og parametervariation.
3. Kurver og buelængde
4. Kurver i planen: krumning med fortegn, fundamentalsætningen, den isoperimetriske ulighed
5. Kurver i rummet: krumning og torsion, fundamentalsætningen
6. Parameteriserede flader: regulære kort, tangentrum, grafer, omdrejningsflader, normal krumning, geodætisk krumning, den første og den anden fundamentalform, hovedkrumninger, Gaußkrumning, middelkrumning
7. Geodætiske kurver og disses ligninger

Litteratur

Meddeles ved kursets start

Kursets hjemmeside
Dette kursus benytter e-learn (blackboard).

Forudsætningsprøver
Ingen

Eksamen- og censurform:

1. Obligatoriske opgaver. Intern bedømmelse ved underviser, bestået/ ikke bestået (5 ECTS). (13012812)
2. Mundtlig eksamen. Intern censur med karakter efter 7-trinsskalaen (5 ECTS). (13012802)

Reeksamen i samme eksamenstermin eller i umiddelbar forlængelse heraf. Reeksamen kan have en anden form end den ordinære eksamen.

Vejledende timetal
På naturvidenskab er undervisningen tilrettelagt efter trefasemodellen dvs. intro, trænings- og studiefasen.
Introfase: 56 timer
Træningsfase: 28 timer, heraf:
 - Eksaminatorie: 28 timer

Aktiviteter i studiefasen Studiefase: 76 timer

Sprog
Dette kursus undervises på dansk eller engelsk, afhængigt af underviseren. Dog altid på Engelsk ved deltagelse af internationale studerende.

Bemærkninger
Samlæses i 1. kvartal med bachelorkurset MM534.

Kursustilmelding
Se tilmeldingsfrister.

Pris for åben uddannelse
Se priser for enkeltkurser.

Denne kursusbeskrivelse var gyldig fra 1. september 2015 til 31. august 2016.