MM545: Ordinære differentialligninger og geometri (10 ECTS)

STADS: 13012801

Niveau
Bachelorkursus

Undervisningsperiode
Kurset er placeret i efterårssemesteret.

Ansvarlige undervisere
Ingen ansvarlige undervisere angivet, kontakt eventuelt instituttet

Skemaoplysninger
Vis hele skemaet
Vis personligt skema for dette kursus.

Kommentar:
Samlæses i ugerne 36-44 med MM547

Indgangskrav:
Kurset kan ikke følges af studerende, der har fulgt MM547, MM507, MM512 eller MM534.

Faglige forudsætninger:
Studerende, der følger kurset, forventes at:

• Være bekendt med: systemer af lineære ligninger, matricer, determinanter, polynomier, funktionsbegrebet, reelle og komplekse tal, differentiering og integration af funktioner af en og flere variable, vektor calculus.

Formål
Formålet med kurset er at introducere modelleringsproblemer fra natur- og ingeniørvidenskab ved ordinære differentialligninger, samt at analysere og løse disse ligninger. Det er kursets formål at indføre teknikker til analytisk behandling af parametriserede kurver og flader i det 3-dimensionale rum og at give de studerende en visuel indsigt i de opnåede resultaters geometriske fortolkning

Kurset bygger på viden opnået i kurserne MM536 (Calculus for matematikere) eller tilsvarende, i mindre grad kurserne enten MM505 (Linerær algebra) eller MM538 (Lineær algebra og algebra). Kurset giver faglig forudsætning for at skrive BA-projekt indenfor flere kerneområder i naturvidenskab, der involverer matematisk modellering, og det er forudsætning for videre kurser indenfor differentialligninger.

I forhold til uddannelsens kompetenceprofil har kurset eksplicit fokus på at:

• Give kompetence til:
1. håndtere komplekse og udviklingsorienterede situationer i studie- og arbejdssammenhænge.
• Give færdigheder i:
1. anvende tankegange og fagudtryk fra fagets grundlæggende discipliner.
2. analysere og vurdere teoretiske og praktiske problemer med henblik på anvendelse af en egnet matematisk model
• Give viden om:
1. matematikkens grundlæggende vidensdannelse, teori og metoder.
2. at kunne foretage analyser ved brug af matematiske    metoder og forholde sig kritisk til videnskabelige teorier og modeller.

Målbeskrivelse
For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:

1. formulere en differentialligning som model for et simpelt problem.
2. løse differentialligninger ved teknikker undervist i kurset.
3. finde stationære løsninger og analysere asymptotisk opførsel af simple systemer af differentialligninger.
4. gengive definitioner og resultater, med deres beviser, fra geometrien af kurver i planen og i rummet og af flader i rummet inden for kursets pensum.
5. anvende disse resultater på eksempler.
6. formulere  og præsentere definitioner, beviser og udregninger på en matematisk stringent måde.

Indhold
Kurset indeholder følgende faglige hovedområder:

1.1 Første ordens differentialligninger og matematiske modeller.
1.2 Retningsfelter og begyndelsesværdi problemer.
1.3 Eulers metode.
1.4 Eksistens og entydighed, Picard-Lindelöf sætning (som anvendelse affikspunktsætningen).
1.5 Gronwalls Lemma og konvergens af Eulers metode.´
1.6 Analytiske redskaber: integrations faktorer, separation af variabler, og eksakte ligninger.
2.1 Systemer af første ordens differentialligninger, og højere ordens lineære ligninger: fundamentale løsninger, løsnings rum.
2.2 Wronski determinanten, Abels sætning.´
2.3 Analytiske redskaber: ubestemte koefficienter og parametervariation.
3. Kurver og buelængde
4. Kurver i planen: krumning med fortegn, fundamentalsætningen, den isoperimetriske ulighed
5. Kurver i rummet: krumning og torsion, fundamentalsætningen
6. Parameteriserede flader: regulære kort, tangentrum, grafer, omdrejningsflader, normal krumning, geodætisk krumning, den første og den anden fundamentalform, hovedkrumninger, Gaußkrumning, middelkrumning
7. Geodætiske kurver og disses ligninger.

Litteratur
Der er i øjeblikket ikke angivet nogle materialer for kurset.

Kursets hjemmeside
Dette kursus benytter e-learn (blackboard).

Forudsætningsprøver
Ingen

Eksamen- og censurform:

1. Obligatoriske opgaver. Intern bedømmelse ved underviser, bestået/ikke-bestået. (5 ECTS). (13012812).
2. Mundtlig eksamen. Intern censur med karakter efter 7-trinsskalaen (5 ECTS). (13012802).
3. Obligatoriske opgaver. Intern bedømmelse ved underviser, bestået/ikke-bestået. (0 ECTS). (13012822).

Reeksamen i samme eksamenstermin eller i umiddelbar forlængelse heraf. Reeksamen kan have en anden form end den ordinære eksamen.

Vejledende timetal
På naturvidenskab er undervisningen tilrettelagt efter trefasemodellen dvs. intro, trænings- og studiefasen.
Introfase: 56 timer
Træningsfase: 28 timer, heraf:
 - Eksaminatorie: 28 timer

Aktiviteter i studiefasen

Undervisningsform
Aktiviteter i studiefasen:

• udarbejdelse af øvelser i studiegrupper
• forberedelse af projekter
• at bidrage til online læring aktiviteter i forbindelse med kurset

Sprog
Dette kursus undervises på dansk eller engelsk, afhængigt af underviseren. Dog altid på Engelsk ved deltagelse af internationale studerende.

Kursustilmelding
Se tilmeldingsfrister.

Pris for åben uddannelse
Se priser for enkeltkurser.

Dette er den nyeste version af en kursusbeskrivelse, som trådte i kraft den 1. sep 2016.