MM547: Ordinære differentialligninger: teori, modellering og beregning (10 ECTS)

STADS: 13013201

Niveau
Bachelorkursus

Undervisningsperiode
Kurset er placeret i efterårssemesteret.

Ansvarlige undervisere
Email: debrabant@imada.sdu.dk

Skemaoplysninger
Vis hele skemaet
Vis personligt skema for dette kursus.

Kommentar:
Ubegrænset deltagerantal. Fælles undervisning med MM531/MM831 Differentialligninger II samt MM507 Ordinære differentialligninger

Indgangskrav:
Ingen.

Kurset kan ikke følges af studerende, der har fulgt MM507, MM531, MM831 eller MM545.

Faglige forudsætninger:
Studerende, der følger kurset, forventes at:

• Have kendskab til begrebet af en funktion, reelle og komplekse tal, differentiering og integration af funktioner af en og flere variable, vektor calculus, Konvergens af følger, Banachs fixpunkt sætning, Newton’s metode.
• Være bekendt med: systemer af lineære ligninger, matricer, determinanter, vektorrum, skalar produkt og ortogonalitet, lineære transformationer, egenvektorer og egenværdier, diagonalisering, polynomier, stokastiske variable, normalfordelingen
• Have kendskab til at implementere algoritmer som computer programmer og beregne numeriske approksimationer til matematiske problemer som ikke kan løses eksakt.

Formål
Formålet med kurset er at introducere modelleringsproblemer fra natur- og ingeniørvidenskab ved ordinære differentialligninger, samt at analysere og løse disse ligninger både ved analytiske (når passende) og numeriske metoder.

Kurset bygger på viden opnået i kurserne MM536 (Calculus for matematikere) eller tilsvarende, MM533 (Matematisk og numerisk analyse) enten MM505 (Linerær algebra) eller MM538 (Lineær algebra og algebra). Kurset er høj grad interdisciplinært og giver faglig forudsætning for at skrive BA-projekt indenfor flere kerne områder i naturvidenskab, der involverer matematisk modellering, såvel som forudsætning for kurserne MM546 og MM5CC (Beregningsmæssig fysik).

 

I forhold til uddannelsens kompetenceprofil har kurset eksplicit fokus på at:

• Give kompetence til:
1. håndtere komplekse og udviklingsorienterede situationer i studie- og arbejdssammenhænge.
• Give færdigheder i:
1. analysere praktiske og teoretiske problemer med hjælp af numerisk simulering baseret på en egnet matematisk model.
2. analysere en matematisk models kvalitative og kvantitative egenskaber
3. beskrive og vurdere fejlkilderne ved modellering og beregning for et givet problem
4. begrunde og vælge mellem relevante analyse- og løsningsmodeller
• Give viden om:
1. matematisk modellering og numerisk analyse af problemstillinger inden for naturvidenskab og teknik.
2. forståelse og refleksion over teorier, metoder og praksis inden for fagområdet anvendt matematik.

Målbeskrivelse
For at opnå kursets formål er det læringsmålet for kurset, at den studerende demonstrerer evnen til at:

1. formulere en differentialligning som model for et simpelt problem.
2. løse differentialligninger ved teknikker undervist i kurset.
3. finde stationære løsninger og analyser asymptotisk opførsel af simple systemer af differentialligninger.
4. Konstruktion, implementering og analyse af numeriske metoder til at beregne (approksimative) løsninger til differentialligninger
5. Mundtlig fremstilling og besvar supplerende spørgsmål inden for kursets pensum og problemer løst i obligatoriske opgaver

Indhold
Kurset indeholder følgende faglige hovedområder:

1.1 Første ordens differentialligninger og matematiske modeller.
1.2 Retningsfelter og begyndelsesværdi problemer.
1.3 Eulers metode.
1.4 Eksistens og entydighed, Picard-Lindelöf sætning (som anvendelse affikspunktsætningen).
1.5 Gronwalls Lemma og konvergens af Eulers metode.´
1.6 Analytiske redskaber: integrations faktorer, separation af variabler, og eksakte ligninger.
2.1 Systemer af første ordens differentialligninger, og højere ordens lineære ligninger: fundamentale løsninger, løsnings rum.
2.2 Wronski determinanten, Abels sætning.´
2.3 Analytiske redskaber: ubestemte koefficienter og parametervariation.
3. Numeriske metoder: (indlejret) Runge-Kutta metoder og adaptivitet.
4. Stivhed, implicite metoder, A-stabilitet.
5.1 Introduktion til Ito-SDEer: Ito integral, Ito process, Ito formel.
5.2 Numeriske metoder for SDEer: Euler-Maruyama og Milstein metoder, svag og stærk konvergens.

Litteratur

Meddeles ved kursets start.

Kursets hjemmeside
Dette kursus benytter e-learn (blackboard).

Forudsætningsprøver
Ingen

Eksamen- og censurform:

1. Obligatoriske opgaver. Bestået/ikke-bestået, intern bedømmelse ved underviser. 5 ECTS (13013212)
2. Mundtlig eksamen. Bedømmes efter 7-trinsskalaen, intern censur. (5 ECTS) (13013202)

Reeksamen i samme eksamenstermin eller i umiddelbar forlængelse heraf. Reeksamen kan have en anden form end den ordinære eksamen.

Vejledende timetal
På naturvidenskab er undervisningen tilrettelagt efter trefasemodellen dvs. intro, trænings- og studiefasen.
Introfase: 56 timer
Træningsfase: 28 timer, heraf:
 - Eksaminatorie: 28 timer

Aktiviteter i studiefasen

Undervisningsform
Aktiviteter i studiefasen:

• udarbejdelse af øvelser i studiegrupper
• forberedelse af projekter
• at bidrage til online læring aktiviteter i forbindelse med kurset

Sprog
Dette kursus undervises på dansk eller engelsk, afhængigt af underviseren. Dog altid på Engelsk ved deltagelse af internationale studerende.

Kursustilmelding
Se tilmeldingsfrister.

Pris for åben uddannelse
Se priser for enkeltkurser.

Denne kursusbeskrivelse var gyldig fra 1. september 2016 til 31. august 2018.